ピタゴラス

 　中学校数学のお話しの続きです。「ピタゴラスの定理」は誰でも聞いたことはあると思いますが、「説明して」と言われて答えられる大人は半数くらいではないでしょうか(根拠はありません)。じゃぁ「知っていて何の得になるか」即答できる人はいるでしょうか？私は胸を張って言います。

ここでピタゴラスさん登場

　庭園鉄道を敷設する時役に立ちます。庭に曲線路を敷くには、レールベンダーでレールを曲げ、枕木の上に置くと線路ができていきます。レールはメッタヤタラに曲げても思い通りの線路になりませんから、あらかじめ半径何mの曲線で長さを何mにするという計画通りに作業を進めなければなりません。ここで曲げたレールの半径が予定通りになっているか、ピタゴラスの定理を使ってチェックすることができるのです。もちろんサインコサインを応用しても同じことができます。

　仮に半径5mを目標にして曲げたレールがあるとします。このレールの内面に長さが500mmの物差しをあてがい、その中央でレールと物差しの隙間δが何mmあるか測ります。これを図示すると下のようになります。ピタゴラスの定理によると直角三角形OABにおいて(OA)²=(AB)²+(BO)²が成り立ちます。　

数値を入れると

5000²＝250²+(BO)²　

これより

(BO)＝±√(5000²－250²)＝4993.7  (BO)>0

δ＝(OA)－(BO)＝5000－4993.7＝6.3

または三角関数を用いて

sinθ＝(AB) /(OA)＝250/5000＝0.05

これよりθ＝2.87°

δ=(OA)×(1－cosθ)＝6.3　と同じ答えが得られます。

もしレールが正しく半径5mに曲げられていたなら500mmの物差しとレールの隙間は6.3mmになっているはずだということがわかります。

同様に5m以外の半径に曲げられたレールと隙間の関係を計算すると右表のようになります。

半径が大きくなるとδが小さく、測定誤差が大きくなるのであてがう物差しを長くすることで精度を上げることができます。

50cm物差しの中央でレールとの隙間を測定する

　実際には5m以上もあるレールの全長を曲げてから半径を計測するのではなく、レールベンダーのラム(油圧ジャッキの可動部)がレールに当たった時と油圧を抜いてスプリングバックした時にもう一度ラムをレールに当てて出っ張りを測定すればその差がδになります。ただし、レールベンダーのフック間の寸法が物差しと同じ500mmの場合にこれは成り立ちます。上にも書いてあるようにスプリングバック(弾性による戻り)があるので、この数値になるまでラムでレールを押せば所定の曲率半径になると言う単純な意味ではありません。だからこの方法で狙い通りに曲げられるようになるには、慣れやコツ、裏技、荒技、さらに細かいことには目を瞑る鷹揚な性格が求められます。庭園鉄道の敷設には数学(幾何学)の知識が役に立ちますが、レールの曲がり具合はあくまでもハンドルの手加減で決まります。

　下の動画では手慣れた要領で、ハンドルを引く回数やラムの高さ測定も一発で決めています。